5 Líneas de Espera

Introducción

Desde el inicio del comercio nunca se ha podido cubrir instantáneamente las necesidades de la demanda, Debido a que la demanda está en constante aumento o no es factible económicamente tener un servidor para cada cliente.

Así es que desde ese entonces las  líneas de espera son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto al cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería ,subir a un juego en la feria,etc.Nos hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando son demasiado largas.

Sin embargo tener que esperar no solo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde al esperar es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su vida. Por ejemplo antes de su disolución en la Unión Soviética era notable por sus excesivas colas que sus ciudadanos debían soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en día en Estados Unidos las personas pasan 37,000,000,000 de horas al año en líneas de espera. Si este tiempo se usara de manera productiva, significaría cerca de 20 millones de personas-año de trabajo útil cada año.

Es por estas asombrosas cifras que nació la teoría de colas y sus distintos modelos de optimización, para reducir significativamente estas cifras y que la gente no pierda tanto tiempo de su vida haciendo fila para adquirir algo tan simple como una hamburguesa o solamente por la firma de un documento.

En este documento veremos todos esos modelos y ejemplos de su aplicación, así que sin más que decir terminamos con esta breve introducción.

5.1 Definiciones, características y suposiciones

Lineas de espera 5.1 Definiciones, características y suposiciones

Definiciones, características y suposiciones.

 La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación operativa, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen ente que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

Modelo de Formación de Colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

 

 

 

Objetivos

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Elementos Existentes En La Teoría De Colas

 Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

 Fuente de entrada o población potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.

               

Nomenclatura

Notación de Kendall-lee para los sistemas de lineas de espera

La notación de Kendall-lee sirve para caracterizar un sistema de líneas de espera en el cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente en la cola entra al servicio, y así sucesivamente.

Kendall (1951) diseñó la notación siguiente para representar dicho sistema de líneas de espera. Cada sistema de  líneas de espera se describe mediante seis características: 1/2/3/4/5/6

La primera característica especifica la naturaleza del proceso de llegada. Se utilizan las abreviaturas estándar siguientes:

M: los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas       (iid) cuya distribución es exponencial.

D= los tiempos entre llegadas son (iid) deterministas. 

Ek= los tiempos entre llegadas son Erlangs (iid)  con parámetro de forma k.

GI= los tiempos entre llegadas son (iid)  y están regidos por una distribución general.

La segunda característica especifica la naturaleza de los tiempos de servicio:

M: los tiempos de servicio son iid y están distribuidas exponencialmente.

D= los tiempos de servicio son iid deterministas. 

Ek= los tiempos de servicio son Erlangs iid  con parámetro de forma k.

GI= los tiempos de servicio son iid  y están regidos por una distribución general.

La tercera característica es la cantidad de servidores en paralelo.

La cuarta característica es la disciplina del servicio:

FCFS= El primero en llegar, primero en ser atendido.

LCFS= El último en llegar, primero en ser atendido.

SIRO= Servicio en orden aleatorio.

GD= Disciplina general.

La quinta característica especifica el número máximo admisible de clientes en el sistema (incluidos los clientes que están esperando y los que están en el servicio).

La sexta característica da el tamaño de la población de donde se extraen los clientes. A menos que la cantidad de clientes potenciales sea del mismo orden de magnitud que el número de servidores, la población se considera infinita.

Otras nomenclaturas.

En muchos modelos importantes 4/5/6 es GD/∞/∞. Entonces estas características generalmente se omiten

S = número de servidores

n= número de clientes en el sistema

N =número máximo de clientes permitidos en el sistema

A,,t =flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema

u,7l =capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema.

E(t)= tiempo promedio de proceso por cliente

V(t)= variancia del tiempo de proceso

E(á) = tiempo promedio entre llegadas

V(a) = variancia del tiempo entre llegadas

CQ = coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema

CS`=  coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio

Cp = coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema PIJ probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y después de un intervalo de tiempo.

Pn=  probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema

L = número promedio de clientes en el sistema

Lq = número promedio de clientes en la fila

W = tiempo promedio de permanencia en el sistema

Wq= tiempo promedio de permanencia en la fila

p =utilización promedio del servicio

Ct = costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo.

Ce=  costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo

Cq = costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

 Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.

Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso.

 Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores.

 Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

Fila

Es el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de encontrar a partir

De las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados, mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y, por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien, mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera.

Ecuaciones generales

Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes:

Utilización del Servicio

Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el servicio.

Conclusión

Hasta el momento hemos hablado sobre los principios de la teoría de colas, también sobre cuánto tiempo se gastan las personas al año en Estados Unidos esperando y por qué también a veces un modelo de filas con muchos servidores no sería factible económicamente, Pero cabe destacar que más adelante en el documento veremos un equilibrio entre el número de servidores que podemos tener para satisfacer la demanda de tal manera que sea factible económicamente.

Por lo tanto hasta el momento solo hemos visto las definiciones de lo que es una línea de espera, por qué se hacen y el un poco sobre cómo se optimizan las líneas de espera, Así también las distintas nomenclaturas y distintitos tipos de cola que existen.

Así también hemos visto lo que es una fila y parte de su estudio técnico y un pequeño modelo que lo representa.

5.3 Proceso de nacimiento o muerte.

Proceso de nacimiento y muerte

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t ≥ 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes:

Supuesto 1

Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λ n (n 50, 1, 2,. . .).

Supuesto 2

Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro µn (n = 1, 2,. . .).

Supuesto 3

La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es n→ n + 1 (un solo nacimiento) o n→ n - 1 (una sola muerte), lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña.

En el caso de un sistema de colas, λ n y µn representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos sistemas de colas, los valores de las λ n serán las mismas para todos los valores de n, y las µn también serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña que el servidor este desocupado (es decir, n = 0). Sin embargo, las λ n y las y µn también pueden variar en forma considerable con n para algunos sistemas de colas. Por ejemplo, una de las formas en las que λ n puede ser diferente para valores distintos de n es si los clientes potenciales que llegan se pueden perder (rechazar la entrada al sistema) con mayor probabilidad a medida que n aumenta. De manera similar, µn puede ser diferente ante valores distintos de n debido a que existe una mayor probabilidad de que los clientes renuncien (se vayan sin haber sido servidos) a medida que aumenta el tamaño de la cola.

Distribución de llegadas:

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue:

P(x)=µx e^- λ / x!                     Para x= 0, 1, 2,…

Modelo de nacimiento puro

Defina          

p0 (t) = Probabilidad de que no ocurran llegadas durante un periodo de tiempo t. Dado que el tiempo entre llegadas es exponencial y que la tasa de llegadas es de λ clientes por unidad de tiempo, entonces:

Para un intervalo de tiempo suficientemente pequeño h > 0, tenemos:

La distribución exponencial se basa en la suposición de que durante h > 0, cuando mucho puede ocurrir un evento (llegada). Por lo tanto, a medida que

h→ 0,p1 (h) = 1 - p0 (h)≈ λ h.

Este resultado muestra que la probabilidad de una llegada durante h es directamente proporcional a h, con la tasa de llegadas, λ, como constante de proporcionalidad. Para derivar la distribución de la cantidad de llegadas durante un periodo t cuando el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/ λ

Defina pn(t) = Probabilidad de n llegadas durante t.

Para un h > 0 suficientemente pequeño:

En la primera ecuación habrá n llegadas durante t + h si hay n llegadas durante t y ninguna llegada durante h, o n - 1 llegadas durante t y una llegada durante h. No se permiten todas las demás combinaciones porque, de acuerdo con la distribución exponencial, a lo sumo puede haber una llegada durante un periodo h muy pequeño. La ley del producto de las probabilidades es aplicable al lado derecho de la ecuación porque las llegadas son independientes. En cuando a la segunda ecuación, durante t + h puede haber cero llegadas sólo si no hay llegadas durante t y h. Reacomodando los términos y tomando los límites a medida que h→0 para obtener la primera derivada de pn(t) con respecto a t, tenemos:

Ésta es una distribución de Poisson con media de llegadas durante t. El resultado anterior muestra que si el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/ λ, entonces la cantidad de llegadas durante un periodo específico t es Poisson con media λ t. Lo contrario también funciona. La siguiente tabla resume las relaciones entre las distribuciones exponenciales y de Poisson, dada la tasa de llegadas λ.

Modelo de muerte pura

En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo. Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad pn(t) de que n clientes permanezcan después de t unidades de tiempo, seguimos los argumentos utilizados con el modelo de nacimiento puro. Por lo tanto:

Ejemplo:

Una florería inicia cada semana con 18 docenas de rosas. En promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a la vez), pero la demanda real sigue una distribución de Poisson. Siempre que el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas docenas para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a la naturaleza de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la semana se desechan. Determine lo siguiente:

(a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día de la semana.

(b) El promedio de rosas desechadas al final de la semana. Debido a que las compras ocurren a razón de µ = 3 docenas por día, la probabilidad de colocar un pedido al final del día t es

Conclusión:

En la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la entrada de un nuevo cliente, y el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. Esto nos sirve para conocer cuál es la probabilidad de que ocurran nuevos nacimientos en un determinado espacio de tiempo. Los nacimientos y muertes por lo general se dan de manera aleatoria, y sus tasas de ocurrencia dependen del sistema.

5.4 Modelos Poisson

Modelos de Poisson

Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma:

O, para simplificar la notación, simplemente:

Donde ln significa logaritmo neperiano, a₀ y a₁ son constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continúa o discreta. Este modelo se puede fácilmente generalizar para k variables independientes:

Por lo tanto a₀ es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables independientes son cero, y a_i es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo del cociente de l ) cuando la variable X_i aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás o, dicho de otro modo, es la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo unidad cuando todas las variables independientes son cero y l el cociente de dicha probabilidad para un aumento de una unidad en la variable X_i (riesgo relativo). Obsérvese que, al igual que en la regresión logística, el modelo supone efectos multiplicativos, es decir, si la variable X_i aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de Poisson se multiplica por es decir, la potencia n-ésima.

Definición: Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número de clientes que llegan a un sistema de líneas de espera, entonces la probabilidad de que

n = k está dada por: ( ) ()

Donde λ es el promedio de éxitos en la unidad de tiempo.

Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de distribución está dada por:

E(n)= λ t

V(n)= λ t

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Propiedades:

La función de masa de la distribución de Poisson es donde

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

5.4.1 Un servidor

Modelo de Poisson con un servidor.

En este modelo se dispone sólo de un canal para dar servicio, las llegadas siguen un proceso de Poisson y la distribución del tiempo de servicio es exponencial.

Así, las tasas de nacimiento y muerte no dependen del número de clientes en el sistema y...

La capacidad del sistema es ilimitada y la disciplina de la cola es FIFO.

La siguiente imagen representa el diagrama de transición de este modelo.

 Modelo M/M/1

 Este modelo consiste en un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson.

Características importantes de este modelo:

En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.

En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo específico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo.

Formulas generales

Modelo M/G/1: 

Es un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.
En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M/G/1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.

Formulas generales 

Modelo M/E_k/1

Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de Erlang, también llamada distribución K.

Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro.

Formulas generales

5.4.2 Multiples servidores.

Múltiples servidores 

En éste modelo, los clientes forman una sola fila y entre servidores se elige al que esté disponible. Cuenta con una sola fase. Se parte de los siguientes supuestos:

·                     Tenemos s servidores idénticos.

·                     Distribución del servicio para cada uno es idéntico.

·                     Tiempo medio de servicio igual a  1/µ.

Se toman en cuenta los supuestos hechos para el modelo de un solo servidor. Para describir las características de operación de servicio se aplican las siguientes fórmulas:

Conclusión

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de la probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre de manera aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de la probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción de las llegadas.

El modelo de Poisson nos ayuda mucho, por ejemplo, una distribución de Poisson puede describir el número de defectos en el sistema mecánico de un avión o el número de llamadas a un centro de llamadas en una hora. La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el control de calidad, los estudios de fiabilidad/supervivencia y los seguros.

Una variable sigue una distribución de Poisson si se cumplen las siguientes condiciones:

• Los datos son conteos de eventos (enteros no negativos, sin límite superior).
• Todos los eventos son independientes.
• La tasa promedio no cambia durante el período de interés.

5.5 Análisis de costos.

                                Análisis de costos

El Análisis De Costo es el proceso de identificación de los recursos necesarios para llevar a cabo la labor o proyecto. El análisis de costo determina la calidad y cantidad de recursos necesarios. Entre otros factores, analiza el costo del proyecto en términos de dinero. 

Con frecuencia, se supone que se cuenta con los recursos necesarios y que el costo es tan bajo que no es necesario realizar el análisis. Sin embargo, puede ocurrir que, una vez que el proyecto esté marchando los costos de utensilios, el equipo, los materiales y la mano de obra especializada que se requiere para completarlo no están disponibles. 

También puede ocurrir que se haya completado el proyecto, (en este caso un pozo de agua) y todos los participantes han ignorado la necesidad de adquirir los repuestos necesarios para la bomba. Varios meses después de finalizar el proyecto la bomba falla y no se tienen los repuestos adecuados para arreglarla.

Componentes del costo

El costo de producción de una empresa puede subdividirse en los siguientes elementos: alquileres, salarios y jornales, la depreciación de los bienes de capital (maquinaria y equipo, etc.), el costo de la materia prima, los intereses sobre el capital de operaciones, seguros, contribuciones y otros gastos misceláneos. Los diferentes tipos de costos pueden agruparse en dos categorías: costos fijos y costos variables.

Costos fijos

Los costos fijos son aquellos en que necesariamente tiene que incurrir la empresa al iniciar sus operaciones. Se definen como costos porque en el plazo corto e intermedio se mantienen constantes a los diferentes niveles de producción. Como ejemplo de estos costos fijos se identifican los salarios de ejecutivos, los alquileres, los intereses, las primas de seguro, la depreciación de la maquinaria y el equipo y las contribuciones sobre la propiedad.

El costo fijo total se mantendrá constante a los diferentes niveles de producción mientras la empresa se desenvuelva dentro de los límites de su capacidad productiva inicial. La empresa comienza las operaciones con una capacidad productiva que estará determinada por la planta, el equipo, la maquinaria inicial y el factor gerencial. Estos son los elementos esenciales de los costos fijos al comienzo de las operaciones.

Hay que dejar claro, que los costos fijos pueden llegar a aumentar, obviamente si la empresa decide aumentar su capacidad productiva, cosa que normalmente se logra a largo plazo, por esta razón, el concepto costo fijo debe entenderse en términos de aquellos costos que se mantienen constantes dentro d0e un período de tiempo relativamente corto.

Costos variables

Los costos variables son aquellos que varían al variar el volumen de producción. El costo variable total se mueve en la misma dirección del nivel de producción. El costo de la materia prima y el costo de la mano de obra son los elementos más importantes del costo variable.

La decisión de aumentar el nivel de producción significa el uso de más materia prima y más obreros, por lo que el costo variable total tiende a aumentar la producción. Los costos variables son pues, aquellos que varían al variar la producción.

Otros refinamientos 

El vocabulario económico maneja cuatro conceptos de costos, derivados del concepto costo total, de gran importancia para el estudio de la teoría de la firma. Estos conceptos son el costo promedio total (CPT) el costo variable promedio (CVP) el costo fijo promedio (CFP) y el costo marginal (CMg). Cada uno de estos conceptos presenta una relación económica muy importante para el análisis del problema de la determinación del nivel de producción de máxima ventaja económica pera el empresario, por lo cual se recomienda familiarizarse con la abreviatura convencional, aceptada por los economistas, importante para la comprensión del tema.

Costo Marginal

El costo marginal (CMg) permite al empresario observar los cambios ocurridos en el costo total de producción al emplear unidades adicionales de los factores variables de producción. El costo marginal es, por tanto una medida del costo adicional incurrido como consecuencia de un aumento en el volumen de producción. El costo marginal se define como el costo adicional incurrido como consecuencia de producir una unidad adicional del producto. Si al aumentar el volumen de producción en una unidad el costo total aumenta, el aumento absoluto en el costo total se toma como resultado del aumento absoluto en la producción. De ahí que aritméticamente, el costo marginal es el resultado de dividir el cambio absoluto en costo total entre el cambio absoluto en producción. Esta relación aritmética puede expresarse en los siguientes términos:

Costo promedio total

Le indica al empresario el costo de producir una unidad del producto para cada nivel de producción, obteniendo la combinación más eficaz de los factores de producción, se obtiene matemáticamente dividiendo el costo total entre el número de unidades producidas a cada nivel de producción y se expresa de la siguiente forma:

Costo fijo Promedio

Indica que el costo fijo por unidad se reduce a medida que aumentamos la producción, al distribuir un valor fijo entre un número mayor de unidades producidas el costo fijo por unidad tiene que reducirse.

Costo Variable Promedio

Indica que en el punto más bajo de la curva el productor alcanza el nivel de producción de máxima eficacia productiva de los factores variables y cuando esta asciende señala la reducción de eficacia productiva que tiene lugar al aumentar la producción mediante el empleo de unidades adicionales de los factores variables, mientras se mantiene fija la capacidad productiva de la empresa.

Costo a corto plazo

El análisis del costo en el corto plazo depende de dos proposiciones las cuales son:

Las condiciones físicas de la producción y los precios unitarios de los insumos determinan el costo de producción correspondiente a cada nivel de producción posible.

El costo Total se puede dividir en dos componentes: el costo fijo y el costo variable.

Costo a largo Plazo

En cuanto al largo plazo, el análisis introduce dos consideraciones importantes. Una de ella es la que tiene que ver con la capacidad productiva de las empresas que componen la industria. La segunda es la que tiene que ver con la capacidad productiva de todas las industrias y de sus consecuencias económicas para las empresas individuales.

Maximización de los beneficios de la empresa

La decisión básica que toda empresa debe tomar es la cantidad que producirá. Esta decisión dependerá del precio al que pueda venderla y del costo de producción. En el proceso que toda empresa sigue para determinar la cantidad de producto que colocará en el mercado se guía por el deseo de maximizar los beneficios, definidos como la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales:

En relación a esta expresión, caben tres posibilidades:

Beneficios normales

Beneficios extraordinarios

Pérdidas.

1. Beneficios normales (IT = CT B = 0).

Cuando la empresa logra igualar los ingresos totales y los costos totales el beneficio es igual a cero y se dice que la empresa obtiene beneficios normales o contables pues los costos totales comprenden todos los costos de producción, incluido el costo de oportunidad del capital y la gestión aportada por los propietarios de la empresa. Para presentar el análisis de la maximización de los beneficios en términos unitarios o medios, tal como hemos llevado a cabo el estudio de los costos, dividamos los ingresos totales y los costos totales por la cantidad producida por la empresa.

De esta forma obtenemos, por un lado los costos medios (Cme = Ct/q) y por otro los ingresos medios, que en realidad equivale al precio de mercado:

De esta forma, si el IT = CT resulta también Ime = CTMe ó, lo que es igual, que P = CTMe. Así la empresa obtiene beneficios normales cuando el precio es igual al costo total medio.

2. Beneficios extraordinarios (IT › CT B › 0)

La segunda posibilidad es que los ingresos totales sean superiores a los costos totales. En este caso la empresa obtiene beneficios extraordinarios, en el sentido de que son superiores a los normales de la explotación.

En términos unitarios o medios que la empresa obtenga beneficios extraordinarios equivale a decir que IMe › CTMe o que P › CTMe. Así cuando el precio de mercado es superior a los costos totales medios de la empresa obtiene beneficios extraordinarios.

3. Pérdidas (IT ‹ CT B ‹ 0)

La tercera posibilidad surge cuando los ingresos totales son inferiores a los costos totales, por lo tanto, la empresa, incurre en pérdidas.

Si IT ‹ CT, esto equivale a que los ingresos totales medios sean inferiores a los costos totales medios o lo que es lo mismo P ‹ CTMe.

En casos en que la empresa experimente pérdidas merece analizarlo con más detalle. Para ello recordemos que en el corto plazo los costos totales tienen dos componentes, los costos fijos y los costos variable: CT = CF + CV. En consecuencia, a partir de la figura tendremos que:

Tomando como referencia la figura 8.8 comparamos las pérdidas con los costos fijos, obtenemos tres situaciones alternativas que debemos analizar para determinar en qué casos, el empresario, aunque incurra en pérdidas, le convendrá producir.

Pérdidas mayores que los costos fijos. Esta situación se dará cuando CV › IT, es decir, cuando los CVMe › P. Así cuando el costo variable medio sea mayor que el precio de mercado, las pérdidas en que incurrirá la empresa serán mayores que los costos fijos y la empresa debería cerrar. Dado que CVMe › P, la empresa incurrirá en mayores pérdidas produciendo que si dejara de producir y solo tuviera los costos fijos.

Pérdidas iguales a los costos fijos. Esto es lo que ocurrirá cuando CV = IT, lo que equivale a decir que el CVMe = P. Cuando el precio es igual al costo variable medio, Los únicos costos que quedan por cubrir son los fijos. En esta situación, a la empresa le será indiferente o producir o no, ya que si decide hacerlo las pérdidas en que incurrirá sera en cuantía igual a los costos que tendría que soportar si no produce.

Pérdidas menores que los costos fijos. Una empresa incurrirá en unas pérdidas inferiores a los costos fijos cuando CV ‹ IT, esto es cuando CVMe ‹ P. Si el precio es mayor que el costo variable medio, quiere decir que en parte se están cubriendo los costos fijos de forma que las pérdidas en las que se incurre al producir son inferiores a los costos fijos. En esta situación el empresario aun teniendo pérdidas, decidirá producir. Su deseo de maximizar los beneficios le lleva a minimizar las pérdidas, es decir, a cubrir parte de los costos fijos, pues les tendría que hacer frente, aunque dejara de producir.

Conclusión

Análisis de costos Los costos en que se incurre al realizar una actividad, un proyecto, una empresa, se le nombra costos pertinentes, que son los costos directos de una elección, y son de dos tipos: los costos fijos que están disociados de la producción, esto es, se presentan independientemente de la escala productiva, produzca o no, tales como la renta o pagos de arrendamiento de un automóvil. Los costos que varían en proporción directa a la escala de producción de la empresa se les llaman costos variables.

En el corto plazo la función de costos es una relación lineal del tipo:

Ct = Cf + Cv * Q

En el largo plazo la función se expresa como una función potencia:

Ct = âQ^b

Donde a y b son parámetros estimados y Q es la escala de producción realizada.

Cuando el valor de b es mayor a 1 describe costos marginales crecientes positivos, Cuando el valor de b es igual a 1 los costos son constantes positivas, Cuando el valor de b es mayor a 0 y menor a 1 los costos comportan incrementos marginales decrecientes positivos.

Al realizar una elección y trabajar en ella los costos pertinentes implican la renuncia implícita de otras posibles alternativas, las cuales se ordenan de forma transitiva, es decir de la mejor elección a la menor, la renuncia de la alternativa inmediata a la elegida es el costo de oportunidad. El costo pertinente más el costo de oportunidad dan el costo económico que es el implícito de toda elección. El costo económico es un tema de reflexión necesario en la toma de decisiones, sobre todo en la evaluación o valoración de un proyecto de inversión.

Todo lo anterior es un análisis del costo total y sus componentes, así como sus implicancias económicas en una cartera de inversión. Ahora bien, interesa el enfoque relativo de los costos, especialmente relativo a los marginales, puesto que los costos marginales de los insumos o factores productivos implicados establecen el criterio de combinación óptima eficiente de los mismos.

Conclusión General de las Lineas de Espera

Conclusión General de las Lineas de Espera

Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y luego los utiliza para obtener medidas de desempeño este análisis proporciona información vital para diseñar de manera eficiente, sistemas que logren un balance apropiado entre el costo de proveer el servicio asocias con la espera por ese servicio.

En este documento se describieron los modelos básicos de teoría de colas de los que se obtienen resultados muy útiles. Se considerarían otros modelos interesantes si el tiempo nos lo permitiera en realidad han aparecido en la literatura técnica varios miles de artículos de investigación que formulan y-o analizan modelos de colas y cada año se crean más.

La distribución exponencial tiene un papel fundamental en la teoría de colas para representar la distribución de los tiempos de llegadas y de servicios, puesto que este supuesto permite representar un sistema de colas como una cadena de markov de tiempo continuo.

Por la misma razón son de gran utilidad las distribuciones tipo fase como la distribución de Erlang, donde se desglosa el tiempo total en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales. Con algunos supuestos adicionales se han obtenido importantes resultados analíticos solo para un pequeño número de modelos de colas.

En fin cuando se dispone de un modelo manejable que proporcione una representación razonable del sistema bajo estudio, un enfoque usual es obtener los datos de desempeño pertinentes mediante el desarrollo de un programa de computadora para simular la operación del sistema.

Así que por lo pronto esperamos se hayan abarcado los conceptos básicos de las líneas de espera, Hasta pronto.

4 Teoría de inventarios

Introducción a la teoría de inventarios

Los inventarios se remontan desde que nació la propiedad privada y las primeras sociedades donde podemos encontrar el almacenamiento y acumulación de bienes como  alimentos, granos, semillas y subproductos.

La administración de los inventarios ha ido cambiando a lo largo de los años y podemos repasar varias teorías y prácticas en su desarrollo histórico.

Desde tiempos inmemorables, los egipcios y los pueblos de la antigüedad, acostumbraban almacenar grandes cantidades de alimentos para ser utilizados en los tiempos de sequía o de calamidades. Es así como surge o nace el problema de los inventarios, como una forma de hacer frente a los periodos de escasez. Que le aseguraran la subsistencia de la vida y el desarrollo de sus actividades normales. Esta forma de almacenamiento de todos los bienes y alimentos necesarios para sobrevivir motivó la existencia de los inventarios.

En este tema nos centraremos en como en las organizaciones actuales hacen la administración y control de inventarios así también como sus diferentes ramas de la teoría de inventarios actual.

La base de toda organización comercial es la compra y ventas de bienes y servicios; de ahí viene la importancia de la administración de inventario por parte de la misma. Este manejo de inventarios permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, así como también conocer al final del periodo contable un estado confiable de la situación económica de la empresa.

El inventario tiene como propósito fundamental proveer a la empresa de materiales necesarios, para su continuo y regular desenvolvimiento, es decir, el inventario tiene un papel vital para funcionamiento acorde y coherente dentro del proceso de producción  y de esta forma afrontar la demanda.

4.1 Sistemas de administración y control.

Sistemas de administración y control

La administración de inventario

La administración de un inventario es un punto determinante en el manejo estratégico de toda organización, tanto de prestación de servicios como de producción de bienes.

Las tareas correspondientes a la administración de un inventario se relacionan con la determinación de los métodos de registro, la determinación de los puntos de rotación, las formas de clasificación y el modelo de re inventario determinado por los métodos de control (el cual determina las cantidades a ordenar o producir, según sea el caso).

Los objetivos fundamentales de la gestión de inventarios son:

• Reducir al mínimo "posible" los niveles de existencias y
• Asegurar la disponibilidad de existencias (producto terminado, producto en curso, materia prima, insumo, etc.) en el momento justo.

Inventarios

 Son los materiales que una empresa mantiene en su almacén, con el fin de obtener uniformidad en la producción de los artículos que fabrica.

Tipos de Inventarios:

·         Inventarios de Materia Prima.

·         Inventarios de productos terminados.

·         Inventarios de producción en proceso.

·         Inventarios de componentes.

·         Inventarios de refacciones.

Costos asociados a los inventarios

La base común de todo inventario es la representación de un costo asociado al mismo, los costos asociados al proceso de sostener un inventario se diferencian según la naturaleza de la organización y consisten en:

Costo de ordenar

- Para la actividad comercial: Consiste en el proceso de emitir una orden de pedido (llamadas telefónicas, preparación de formatos, gastos administrativos de papeleo, además de los gastos intrínsecos a un proceso de pedir determinada cantidad de unidades como lo son los asociados a los procesos de recepción).

- Para la actividad productiva (fabricación o ensamble): Consiste en los costos asociados a los procesos de alistamiento de corridas de producción, además del proceso logístico de transmisión de órdenes "concepto de cliente interno".

Costo de tenencia o sostenimiento del inventario

Los costos asociados al mantenimiento de un inventario (administrado por la organización) se ven preponderantemente determinados por la permanencia de la media de las unidades logísticas en un lugar determinado para ello en función del tiempo, dado que cada unidad representa un costo de manipulación en los procesos de recepción, almacenamiento, inspección y despacho.

Otro factor que incide en el costo de mantenimiento es el conocido costo de oportunidad, el cual se relaciona con la inversión realizada en la operación de los inventarios y que axiomáticamente ocasiona que la organización prescinda de su disponibilidad para inversiones en procesos que estimulen la generación de valor agregado.

Vale la pena recordar que sobre los costos de tenencia (mantenimiento) recaen aquellos considerados en distintas fuentes como "costos de servicios de stock" como lo son: los seguros, los impuestos y los sobre stocks.

Un factor no menos importante en el costo consolidado de mantenimiento es el riesgo, este factor agrupa los costos de obsolescencia, los costos de averías y los costos de traslado.

Para el inventario administrado por un tercero es importante la determinación de la naturaleza de los costos (fijos y variables) ya que estos en mayor medida jugarán un rol fundamental en la determinación de las unidades óptimas de pedido.

Costo de quiebre de stock (costo de inexistencias)

El costo de quiebre de stock funciona como un "Shadow Price" en relación a cada unidad en inventario que posibilita el proceso de partida doble en la búsqueda de un equilibrio entre costos de operación de inventario. Dentro de este grupo de costos se incluyen todos los consecuentes de un proceso de pérdida de ventas e incumplimiento de contratos, que redundan en tres básicos grupos:

- Pérdida de ingresos por ventas

- Gastos generados por incumplimiento de contratos

- Re-pedido y sustitución 

Sin embargo identificar de manera cuantitativa el costo total por quiebre de stock es una tarea compleja, dado que una necesidad insatisfecha puede generar la pérdida de un cliente y la pérdida de credibilidad de la organización, factores difícilmente cuantificables y que solo a través de un sistema de gestión de calidad podría lograr óptimas aproximaciones aunque igualmente subjetivas de las consecuencias del quiebre de stock.

Sistemas de control de inventario

El control de inventario se refiere a todos los procesos que coadyuvan al suministro, accesibilidad y almacenamiento de productos en alguna compañía para minimizar los tiempos y costos relacionados con el manejo del mismo: es un mecanismo a través del cual, la organización administra de manera eficiente el movimiento y almacenamiento de mercancía, así como el flujo de información y recursos que resultan de ello. Involucra distintos aspectos, pero en términos generales se subdivide en lo correspondiente a gestión y optimización. 

La gestión se encarga de mantener la productividad en las operaciones relacionadas con la administración del inventario, mientras que la optimización se ocupa de incrementar las ganancias de la empresa provenientes del uso y manejo de este.

Para una implementación plena se deben seguir las siguientes recomendaciones:

Mantener un catálogo con los productos que se manejan. Organizar la información que se posea sobre las existencias y complementarla con detalles pertinentes,   además de depurarla de manera constante, facilita la visualización de necesidades y oportunidades del inventario en tiempo real.

Clasificar los productos. Aunado a lo anterior, separar por grupos semánticos: ya sea por proveedor, éxito de venta o rezago, hará más accesible la información del inventario, así como agilizará la toma de medidas necesarias (reabastecimiento, re-ofertas, entre otras).

Establecer un método y periodicidad para la realización de inventarios:

Inventario perpetuo. Se hace un registro continuo (día a día) de la producción y venta de artículos, por lo que se puede conocer el costo del inventario y las existencias en el mismo sin tener que determinar una fecha de inventariado.

Inventario periódico. Se eligen fechas específicas para contabilizar la mercancía según las necesidades de la empresa, lo que suele requerir más tiempo y esfuerzo. Debe considerarse el cese de actividades momentáneo.

Comprender conceptos clave para su integración:

Stock máximo. Límite de unidades, por artículo, que se desea mantener en almacén según las ganancias y costos que representen.

Stock mínimo (de seguridad). Existencias mínimas, por artículo, que se requieren en almacén considerando labores de reabastecimiento y las posibles pérdidas que su carencia signifique.

Punto re-orden. Momento (medido por la cantidad de existencias) en el que se deben realizar órdenes de reabastecimiento tomando en cuenta tiempos y costos de proveedores.

Monitorear y actualizar de manera constante la información recopilada, y el sistema utilizado. Así se podrá solicitar la compra de unidades antes de que se agoten, rotar mercancía generando campañas atractivas, reconocer la utilidad de los métodos implementados, identificar áreas de oportunidad e integrar mejoras.

Integrar herramientas especializadas. Estas aceleran el cumplimiento de las actividades relacionadas con el inventario al permitir el acceso a interfaces de gestión automatizadas.

Conclusión

Los inventarios representan bienes destinados a las ventas en el curso normal de los negocios. Para mayor amplitud de las funciones y servicios de los inventarios depende de la naturaleza y el tipo de empresa, la importancia de los gastos de materiales y bienes de equipo y organización de la empresa.

La administración de inventario se centra en cuatro aspectos básicos; como los son: el número de unidades que deberán producirse en un momento determinado, en que momento debe producirse el inventario, que articulo merece atención especial, y podemos protegernos de los cambios en los costos de los artículos en inventario. De esta manera podemos señalar que la administración de inventario consiste en proporcionar los inventarios que se requieren para mantener la operación al costo más bajo posible.

El control de inventario se realiza con la finalidad de desarrollar pronósticos de ventas o presupuesto, para así determinar los costos de inventarios, compras u obtención, recepción, almacenaje, producción, embarque y contabilidad.

En cuanto a los costos de inventario; se deben identificar todos los costos que se relacionan mediante la elaboración del inventario.

En pocas palabras los inventarios nos permiten  tener un mejor control sobre los productos y recursos de la organización en cuestión, Nos ahorran también el tiempo de buscar en el almacén y saber exactamente las existencias de cada producto y nos dicen en que parte del almacén están.