1.3 PROBLEMAS POR METODO GRAFICO

Método grafico

El método gráfico es una forma fácil y rápida para  la solución de problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables.  Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible. Consiste en representar geométricamente  las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo.

Los pasos necesarios para realizar el método son:

1.  hallar las restricciones del problema.

2.  Las restricciones de no negatividad  Xi ≥  0 confían todos los valores posibles.

3. sustituir  ≥ y ≤  por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

4.  trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente.

5. el espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible. Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible.

6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

7.  la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z,  y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos factibles que toque la función Z.

Ejercicio:

Una empresa vitivinícola ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas. Debido a la calidad del sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blanc y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios netos y requerimientos de mano de obra según los datos que se muestran a continuación:

Suponga que se posee un presupuesto de US$10.000 y una disponibilidad de 1.200 días hombre durante el horizonte de planificación. Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal para este problema. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo.

Variables de Decisión:

X_ {1}: Hectáreas destinadas al cultivo de Sauvignon Blanc

X_ {2}: Hectáreas destinadas al cultivo de Chardonay

Función Objetivo:

Maximizar 50X_ {1}+120X_ {2}

Restricciones:

X_ {1}+X_ {2}\leq 110

100X_ {1}+200X_ {2}\leq 10.000

10X_ {1}+30X_ {2}\leq 1.200

X_ {1}, X_ {2}\geq 0

Donde las restricciones están asociadas a la disponibilidad máxima de hectáreas para la plantación, presupuesto disponible, horas hombre en el período de planificación y no negatividad, respectivamente.           

El siguiente gráfico muestra la representación del problema de la empresa vitivinícola. El área achurada corresponde al dominio de soluciones factibles, donde la solución básica factible óptima se alcanza en el vértice C, donde se encuentran activas las restricciones de presupuestos y días hombre. De esta forma resolviendo dicho sistema de ecuaciones se encuentra la coordenada de la solución óptima donde X_ {1}=60 y X_ {2}=20 (hectáreas). El valor óptimo es

V (P)=50(60)+120(20)=5.400 (dólares).

Conclusión del método grafico

En conclusión el método grafico consiste en analizar las variables de un proceso o problema administrativo mediante una gráfica en un plano cartesiano donde los ejes representan las variables y la línea la relación que existe entre ellas, en este tipo de problemas la mayoría de las veces se busca llegar ya sea a la cota inferior, o la cota superior para así resolver el problema.

La característica del método grafico es que casi cualquier persona lo puede entender, por lo tanto si tratamos de entregar resultados de transparencia gubernamental es más recomendable mostrar las soluciones por método grafico

En fin se invita a investigar sobre el tema más a fondo para reforzar aún más el conocimiento.