Puntos
de Inflexión
Se define un punto de inflexión
como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a
convexa.
En la siguiente gráfica podemos
ver que cuando x = 0, la gráfica pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo que
podemos decir que el punto de inflexión esta en X = 0.
Una característica de los puntos
de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y
mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexión la
función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de
inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa
que justamente donde haya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o
un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros
de la segunda derivada.
Vamos a ilustrar el proceso con un
ejemplo para así dar una explicación simple y clara:
Consideraremos la función F(x) =
x³ - 3x (es la función representada en la anterior gráfica).
Sabemos ya calcular los máximos y
los mínimos de la función f(x) usando la primera derivada. La expresión
de ésta es 3x² - 3 y justamente encontramos máximos y mínimos
respectivamente en x = -14 y x = 1. Si representamos la
gráfica de la derivada queda:
Observamos que justamente donde la
derivada tiene un mínimo es donde la función tiene el punto de inflexión.
Para saber qué punto es vamos a
derivar la función derivada e igualarla a cero: F´´(x) = 6x=0 = x = 0/6 = 0, y
por tanto la función original en x = 0 tiene un punto de inflexión.
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