3.1 Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no sea lineal.

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, con frecuencia no es así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal, lo cual vamos a analizar enseguida.

De la manera general el problema de programación no lineal consiste en encontrar:

X=(X1, X2, X3, X4, XN)

Para Maximizar f(X), sujeta a:

Gi(X) <= bi para i=1,2…..m, Y X=>0,

Donde f(X) y gi(x) son funciones dadas de n variables de decisión.

Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL) de la siguiente manera:

Encuentre los valores de las variables que

Z = ƒ (x_1, x_2,… x_∞) máximo (o mínimo)

Sujeto a (1):

g₁ (x_1, x_2,… x_∞) {≤; =; ≥} b₁

g₂ (x_1, x_2,… x_∞) {≤; =; ≥} b₂

_{………………………}

g_∞ (x_1, x_2,… x_∞) {≤; =; ≥} b_∞

Como en la programación lineal z es el funcional del problema de programación no lineal y

g₁ (x_1, x_2, … x_∞) {≤; =; ≥} b₁; g₂ (x_1, x_2, … x_∞) {≤; =; ≥} b₂; _…; g_∞ (x_1, x_2, … x_∞) {≤; =; ≥} b_∞

Son las restricciones del problema de programación no lineal.

Un problema de programación no lineal es un problema de programación no lineal no restringido. El conjunto de puntos, tal que es un número real, es, entonces, es el conjunto de los números reales.

Los siguientes subconjuntos de (llamados intervalos) serán de particular interés:

[a, b] las x que satisfacen a ≤ x ≤ b

[a, b) las x que satisfacen a ≤ x <b

(a, b] las x que satisfacen a < x ≤ b

(a, b) las x que satisfacen a < x < b

[a, ∞) = las x que satisfacen x ≥ a

(-∞, b] =las x que satisfacen x ≤ b

Y en forma análoga a las definiciones de la programación lineal.

DEFINICIÓN

 La región factible para el problema de programación no lineal es el conjunto de puntos que satisfacen las m restricciones de (1).

Conclusión de los conceptos básicos de programación no lineal.

La programación lineal sirve para la resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas.

Se necesita una buena aplicación de los métodos para encontrar la zona factible y consigo la solución óptima. Cualquier punto X en la región factible, para el cual se tiene que ƒ(x) ≥ ƒ(x) para todos los puntos X de la región factible, es una solución óptima para el problema de programación no lineal.

Para un problema de minimización X es la solución óptima si ƒ(x) ≤ ƒ(x) para toda X factible.