3 Programacion no Lineal

Introducción

La programación no lineal forma parte de la investigación de operaciones y también, como la programación lineal, tiene como finalidad proporcionar los elementos para encontrar los puntos óptimos para una función objetivo. En este planteamiento, tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales. Se presenta un problema de programación no lineal cuando tanto la función objetivo que debe optimizarse, como las restricciones del problema, o ambas, tienen forma de ecuaciones diferenciales no lineales, es decir, corresponden a ecuaciones cuyas variables tienen un exponente mayor que 1. El campo de aplicación de la programación no lineal es muy amplio, sin embargo, hasta la fecha los investigadores de esta rama del conocimiento no han desarrollado un método sistemático que sea práctico para su estudio.

La programación no lineal también es conocida con el nombre de programación cuadrática, en virtud de que la mayor parte de los problemas que resultan contienen ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Muchas veces se presentan casos en que se deben maximizar funciones no lineales que presentan restricciones lineales; esto es posible resolverlo, siempre y cuando se admita la hipótesis de que la utilidad marginal no es constante, en este caso, la función objetivo deja de ser lineal. Las ventajas más importantes de la programación no lineal son dos:

1. En algunas ocasiones la distribución óptima del presupuesto excluye cualquiera de los bienes considerados en el presupuesto general; esta situación se refleja en cualquiera de las restricciones del modelo.

2. La programación no lineal aporta mayor información que la contenida en el análisis marginal. No sólo define el objetivo, sino que también señala la orientación específica para lograr el objetivo.

3.1 Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no sea lineal.

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, con frecuencia no es así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal, lo cual vamos a analizar enseguida.

De la manera general el problema de programación no lineal consiste en encontrar:

X=(X1, X2, X3, X4, XN)

Para Maximizar f(X), sujeta a:

Gi(X) <= bi para i=1,2…..m, Y X=>0,

Donde f(X) y gi(x) son funciones dadas de n variables de decisión.

Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL) de la siguiente manera:

Encuentre los valores de las variables que

Z = ƒ (x_1, x_2,… x_∞) máximo (o mínimo)

Sujeto a (1):

g₁ (x_1, x_2,… x_∞) {≤; =; ≥} b₁

g₂ (x_1, x_2,… x_∞) {≤; =; ≥} b₂

_{………………………}

g_∞ (x_1, x_2,… x_∞) {≤; =; ≥} b_∞

Como en la programación lineal z es el funcional del problema de programación no lineal y

g₁ (x_1, x_2, … x_∞) {≤; =; ≥} b₁; g₂ (x_1, x_2, … x_∞) {≤; =; ≥} b₂; _…; g_∞ (x_1, x_2, … x_∞) {≤; =; ≥} b_∞

Son las restricciones del problema de programación no lineal.

Un problema de programación no lineal es un problema de programación no lineal no restringido. El conjunto de puntos, tal que es un número real, es, entonces, es el conjunto de los números reales.

Los siguientes subconjuntos de (llamados intervalos) serán de particular interés:

[a, b] las x que satisfacen a ≤ x ≤ b

[a, b) las x que satisfacen a ≤ x <b

(a, b] las x que satisfacen a < x ≤ b

(a, b) las x que satisfacen a < x < b

[a, ∞) = las x que satisfacen x ≥ a

(-∞, b] =las x que satisfacen x ≤ b

Y en forma análoga a las definiciones de la programación lineal.

DEFINICIÓN

 La región factible para el problema de programación no lineal es el conjunto de puntos que satisfacen las m restricciones de (1).

Conclusión de los conceptos básicos de programación no lineal.

La programación lineal sirve para la resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas.

Se necesita una buena aplicación de los métodos para encontrar la zona factible y consigo la solución óptima. Cualquier punto X en la región factible, para el cual se tiene que ƒ(x) ≥ ƒ(x) para todos los puntos X de la región factible, es una solución óptima para el problema de programación no lineal.

Para un problema de minimización X es la solución óptima si ƒ(x) ≤ ƒ(x) para toda X factible.

3.2 Ilustración grafica de problemas de programación no lineal.

Ilustración gráfica de problemas de programación no lineal

Cuando un problema de programación no lineal tiene sólo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida a los ejercicios de programación lineal.  Una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal.

La figura siguiente muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo mencionado son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9X21 + 5X22 <=216. Compare las figuras que se presentan a continuación. La solución óptima sigue siendo (X1, X2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV).
La solución óptima pudo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente (verifique Z=3X1 + X2), pero que no necesite serlo no significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para las soluciones FEV. Ahora suponga que las restricciones lineales d la sección anterior se conserva sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo 

Entonces la representación gráfica en la anterior indica que la solución óptima es X1=8/3, X2=5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor óptimo de Z es Z=857, así en la figura anterior muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos para los que z=857 tiene en común con la región factible solo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z más grandes no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si:

Entonces la siguiente figura ilustra que la solución óptima es (x1, x2) = (3,3), que se encuentra dentro de la frontera de la región factible. (Se puede comprobar que esta solución óptima si se usa cálculo para derivarla como un máximo global no restringido; como también satisface las restricciones, debe ser óptima para el problema restringido.) Por tanto, es necesario que:

Un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones en la región factible, y no solo aquellas que están sobre la frontera.

Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no necesariamente es un máximo global (la solución óptima global). Por ejemplo, considera la función de una sola variable graficada en siguiente figura.

En el intervalo 0<=X<=5, esta función tiene tres máximos locales –X=0, x=2, x=4 pero solo uno de estos –X=4—es un máximo global. (De igual manera, existen mínimos locales en X=1, 3, 5, pero solo X=5 es un mínimo global general), los algoritmos de programación no lineal no pueden distinguir entre un máximo local y un máximo global (excepto si encuentran otro máximo local mejor), por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las que se garantiza que un máximo local es u máximo global en la región factible.

Conclusión de la ilustración grafica de problemas de programación no lineal.

En conclusión la ilustración grafica consiste en analizar las variables de un proceso o problema administrativo mediante una gráfica en un plano cartesiano donde los ejes representan las variables y la línea la relación que existe entre ellas, en este tipo de problemas la mayoría de las veces se busca llegar ya sea a la cota inferior, o la cota superior para así resolver el problema.

Como hemos visto la ilustración grafica nos ayuda a comprender de una manera más simple los problemas de la programación ya sea lineal o no lineal, Permite a las personas que no saben mucho del tema comprendan ya sea el aumento de las ventas conforme pasa el tiempo, Los costos, Este tipo de ilustraciones se pueden dar en los informes trimestrales que dan las empresas que operan en las distintas bolsas de valores en el mundo para tener un análisis de la empresa durante ese periodo de tiempo, También se usa para los estados financieros y juntas directivas.

La ilustración grafica se puede usar cuando se tienen una o dos variables en nuestro problema, ya que resulta ser un método más sencillo y rápido de resolver.

Conclusión de la optimización clásica.

En conclusión, La optimización clásica tiene como rol principal, determinar la mejor solución factible para un problema de máximo o mínimo, por ejemplo con ello podríamos usar para determinar cuáles son las medidas más convenientes de una bodega, determinar su costo. Las matemáticas son una gran herramienta para este proceso, ya que se encarga de darnos la solución, conocer que tanto vas a gastar en algo, es una  gran ventaja, ya que te permite saber con anticipación, si cuentas con los recursos suficientes o no, o buscara la manera más óptima de llevar a cabo una tarea.

Esta optimización ha permitido que las empresas reduzcan gastos y aumenten la producción de bienes y servicios, Lo cual es beneficioso para la empresa ya que aumenta su ganancia y para el consumidor final, Ya que el producto que adquiere tiene un precio más bajo.

De hecho desde que se aplicó en la investigación de operaciones el ejército de Inglaterra que llegaron a usarla en operaciones militares tomaron una gran ventaja sobre su enemigo ganando así varias batallas con menos bajas y aprovechando al máximo el armamento y lugares estratégicos,

Conclusion general de la programacion no lineal.

Conclusión general de la programacion no lineal

Como hemos visto a lo largo del documento existen problemas que no pueden ser solucionados con la programación lineal debido a que posee elementos no lineales.

Primero empezamos viendo los conceptos básicos de la programación no lineal, Sus restricciones, La representación matemática la función objetivo, Además vimos como maximizar la función, También la representación de los intervalos y que significa la simbología de los intervalos, Por lo tanto esto nos ayudó a comprender los siguientes temas.

Después se le dio énfasis al tema de los métodos de programación no lineal que resuelven problemas más complejos que la programación lineal, También los distintos elementos que tienen estos métodos de la programación no lineal.

Posteriormente vimos la ilustración grafica la cual nos explica problemas de dos o tres variables máximo, ya que no hay manera de representar gráficos a más de tres dimensiones.

Y que aparte la ilustración grafica nos ayudaba a comprender más fácilmente la solución de un problema de programación no lineal y como la gente que no sabe mucho de investigación de operaciones, Puede darse cuenta ya sea del rendimiento o reportes financieros de una organización.

Después se presentó la teoría clásica de optimización para encontrar máximos y mínimos de los problemas no lineales restringidos. Y la conclusión es que no es adecuada para fines de cálculo. En el caso del método simplex para sistemas lineales las condiciones de optimidad y factibilidad garantizan, partiendo de un punto extremo factible (solución básica), el poder mejorar el valor de la función objetivo hasta llegar al óptimo en cada iteración.