5.4 Modelos Poisson

Modelos de Poisson

Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma:

O, para simplificar la notación, simplemente:

Donde ln significa logaritmo neperiano, a₀ y a₁ son constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continúa o discreta. Este modelo se puede fácilmente generalizar para k variables independientes:

Por lo tanto a₀ es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables independientes son cero, y a_i es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo del cociente de l ) cuando la variable X_i aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás o, dicho de otro modo, es la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo unidad cuando todas las variables independientes son cero y l el cociente de dicha probabilidad para un aumento de una unidad en la variable X_i (riesgo relativo). Obsérvese que, al igual que en la regresión logística, el modelo supone efectos multiplicativos, es decir, si la variable X_i aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de Poisson se multiplica por es decir, la potencia n-ésima.

Definición: Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número de clientes que llegan a un sistema de líneas de espera, entonces la probabilidad de que

n = k está dada por: ( ) ()

Donde λ es el promedio de éxitos en la unidad de tiempo.

Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de distribución está dada por:

E(n)= λ t

V(n)= λ t

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Propiedades:

La función de masa de la distribución de Poisson es donde

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.